Ряд (1) называется знакопеременным , если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Пусть задан знакопеременный ряд
a 1 + a 2 + … +a n + …. (13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
|a 1 | + |a 2 | + … + |a n | +… , (14)
сходится, то сходится и данный ряд (13).
Ряд (13) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (14), составленный из абсолютных величин членов ряда (13). Если же знакопеременный ряд (13) сходится, а ряд (14) расходится, то ряд (13) называется условно или неабсолютно сходящимся .
a 1 – a 2 + a 3 – a 4 +… + a n + …., (15)
где , называется знакочередующимся.
Теорема (признак Лейбница ). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если абсолютные величины его членов не возрастают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
Замечание 1 . При решении задач на исследование сходимости ряда полезно знать особенности поведения следующих рядов:
1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : сходится при и расходится при , q – знаменатель прогрессии;
2. Обобщенный гармонический ряд : сходится при и расходится при . В частном случае () получаем гармонический ряд , который расходится.
Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница, то ошибка, совершаемая при замене S на S n , не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для приближенных вычислений.
Задание 1
Решение. Так как (второй замечательный предел), то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.
Задание 2 .
Решение . Выясним поведение данного ряда с помощью признака сравнения. Для этого сравним его с рядом (это – обобщенный гармонический ряд, который сходится, так как ). Имеем:
и, следовательно, из сходимости ряда по признаку сравнения следует сходимость и данного ряда.
Задание 3 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Выясним поведение данного ряда с помощью предельного признака сравнения. Сравним данный ряд с рядом (это - гармонический ряд, который расходится). Имеем:
и, следовательно, ряды и данный ведут себя одинаково. Таким образом, по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:
Тогда . Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:
и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.
Задание 6 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение . Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:
Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:
1) и очевидно, что
Следовательно, условия признака Лейбница выполнены. Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Рассмотрим ряды, члены которых имеют произвольные знаки, такие ряды будем называть знакопеременными (заметим, что в математической литературе термины знакопеременный и знакочередующийся ряд – о таких рядах речь пойдет позже – означают одно и то же; но мы здесь приняли терминологию, используемую Пискуновым Н.С. в его «Дифференциальном и интегральном исчислении» только для сокращения записи: вместо слов «ряд, члены которого имеют произвольные знаки» будем говорить «знакопеременные ряды»). Если заданный ряд имеет только конечное число отрицательных членов, то, отбросив их, можно свести дело к исследованию ряда с положительными членами. То же касается ряда, в котором только конечное число положительных членов. Поэтому будем заведомо предполагать, что среди членов ряда есть бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов.
Справедлива следующая теорема
Теорема 30. 8. (признак абсолютной сходимости)
Пусть дан ряд с членами произвольных знаков. Если сходится ряд
составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и данный ряд. При этом 
.
Определение 30.4. Если ряд сходится и сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся .
Для выяснения абсолютной сходимости заданного ряда к ряду из его модулей могут быть применены признаки, рассмотренные нами в предыдущем пункте. Но нужно быть осторожным с признаками расходимости: если ряд из модулей расходится, то исходный ряд может и сходиться (условно). Исключение составляют лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши, так как когда эти признаки констатируют расходимость ряда , то это означает, что , но тогда и , что означает расходимость ряда .
Сформулируем эти признаки применительно к знакопеременному ряду
Признак Даламбера.
, то
при d < 1 ряд сходится абсолютно,
при d > 1 ряд расходится,
при d =1 нужны дополнительные исследования.
Признак Коши радикальный.
Если для знакопеременного ряда существует 
, то
при K < 1 ряд сходится абсолютно,
при K > 1 ряд расходится,
при K = 1 требуются дополнительные исследования
Пример. Исследуем сходимость ряда 
. Применим к нему признак Коши: 
– ряд сходится абсолютно.
Среди знакопеременных рядов особую роль играют так называемые знакочередующиеся ряды . Знакочередующимся рядом называют ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки (см предыдущий пример). Такой ряд обычно записывают в виде
при этом предполагается, то все а п > 0.
Для знакочередующихся рядов имеет место
Теорема 30.9. (Теорема Лейбница)
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т.е."п | a n | >| a n +1 |, и , то ряд сходится. При этом сумма ряда по абсолютной величине не превосходит модуля первого члена ряда, т.е. и имеет тот же знак, что и первый член ряда.
Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, называют рядом лейбницевского типа.
Пример
. Рассмотрим сходимость ряда 
. Проверим выполнение условий Теоремы 5.9.: | a n
| >| a n
+1 |, действительно, > "п
³1, а также 
, значит, ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин этого ряда есть расходящийся гармонический ряд , то исходный ряд сходится условно.
Замечание. Так как любой остаток ряда лейбницевского типа есть также ряд лейбницевского типа, то в случае сходимости ряда, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит модуля своего первого члена:
| R n | = |S – S n | £ |a n +1 |.
Это удобно использовать для оценки точности приближенного вычисления суммы данного ряда.
Ряд называется знакопеременным , если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные члены.
Составим ряд из модулей членов этого ряда:
Получился положительный ряд.
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если сходится ряд, образованный из модулей членов данного знакопеременного ряда, то сходится и данный ряд.
В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся .
Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .
Пример .Исследовать ряд на сходимость.
Решение . Данный ряд знакопеременный, т.к. sinn может быть как положительным, так и отрицательным при различных n .
Составим ряд из модулей его членов:
Этот ряд положительный, поэтому его можно исследовать с помощью признака сравнения. Так как ≤ , а ряд сходится по признаку Даламбера (см. п. 4.2.3.3. ). Значит, ряд с меньшими членами также сходится, а данный ряд сходится абсолютно.
Все привыкли думать, что сумма не зависит от порядка слагаемых. И это действительно так, когда речь идёт о конечном числе слагаемых. С бесконечными суммами, т.е. с рядами, нужно быть осторожнее. Оказывается, сумма ряда может меняться при изменении порядка его членов, еслиряд сходится условно . Покажем это на примере знакочередующегося гармонического ряда.
Пример . Известна сумма такого ряда:
В данном ряде переставим местами слагаемые, воспользовавшись тем, что их бесконечно много:
Получилось, что число равно его половине, т.е. абсурд. Так произошло потому, что исходный ряд был условно сходящимся (действительно, ряд, составленный из модулей его членов, является гармоническим и расходится), а для такого ряда сумма может зависеть от порядка слагаемых. И, безусловно, для конечной суммы подобная перестановка была бы невозможна, потому что мы брали в скобках одно положительное слагаемое и два отрицательных, и тогда отрицательные члены закончились бы быстрее.
Кстати, при другой какой-то перестановке можно было получить и иной результат. Например, если в скобках поставить два положительных слагаемых и одно следующее отрицательное, то сумма будет такой:
Для условно сходящихся рядов справедлива теорема Римана : посредством надлежащего изменения порядка членов не абсолютно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, или даже расходящийся ряд.
4.3.1. Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим ряд
Где все > 0. Такой ряд называется знакочередующимся , и он является частным случаем знакопеременного ряда.
Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница ): если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.
Следствие . Остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого члена остатка. Это свойство используется в приближённых вычислениях функций, интегралов и т.д.
Доказательство. Запишем, к примеру, частичную сумму ряда, состоящую из чётного числа слагаемых:
Так как по условию члены ряда убывают, то все скобки здесь положительны. И получается, что, с одной стороны, возрастает с ростом k , а с другой, не превышает первого члена а 1 . По теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предел.
При исследовании сходимости знакопеременного ряда следует сначала использовать признак Лейбница, а затем проверить, сходится ли ряд, составленный из модулей членов этого ряда. После этого сделать вывод, сходится ряд абсолютно или условно.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Этот ряд знакочередующийся. Члены ряда обладают следующими свойствами:
1) модули членов ряда монотонно убывают: > > > … ;тоже расходится.
Получилось, что исходный ряд сходится, а ряд из модулей расходится. Следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
Знакопеременными называются ряды, члены которых могут иметь любые знаки, например, .
В частности, если положительные и отрицательные члены ряда следуют друг за другом поочередно, то такой знакопеременный ряд называется знакочередующимся.
Знакочередующие ряды
Знакочередующий ряд, члены которого являются положительными, можно представить в виде
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два условия:
1)
и 2)
.
Достаточно важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. При этом членами таких рядов могут быть любые действительные числа.
Определение
9.5.
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится
.
Теорема
9.4.
Если ряд
сходится, то и ряд
тоже
сходится.
Данная теорема утверждает, что если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Необходимо отметить, что:
1) для знакопостоянных рядов понятие сходимости и абсолютной сходимости совпадают;
2)
ряд называется условно сходящимся, если
он сходится, а ряд
расходится.
Рассмотрим признаки Даламбера и Коши для произвольных знакопеременных рядов.
Признак
Даламбера.
Если существует
,
то при
ряд
абсолютно
сходится, при
ряд будет расходящимся, при
признак
не решает вопроса о сходимости ряда.
Задача 9.7. Исследовать сходимость ряда
Здесь за каждыми двумя положительными членами ряда следует два отрицательных. Для исследования сходимости такого ряда воспользуемся признаком Даламбера.
.
Исходный ряд сходится по признаку Даламбера.
Задача 9.8. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
Здесь
.
Для такого ряда выполняются следующие
условия:
а)
б)
.
Следовательно, исходный ряд сходится
в соответствии с признаком Лейбница.
Исследуем
заданный ряд на абсолютную сходимость.
Для этого составим ряд
из абсолютных величин:
Такой ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, которая всегда сходится. Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
Задача 9.9 . Исследовать сходимость ряда
Здесь
,
следовательно ряд расходящийся, так
как не выполняется необходимое условие
сходимости.
Тема 9.2. Функциональные ряды
Пусть
задана следующая последовательность
функций
,
т. е.
которая определена на некотором множестве. Если члены такой последовательности соединить знаком плюс, то получают выражение
или
.
Такие выражения называют функциональными
рядами, а функция
называется общим членом ряда.
Частными
суммами ряда
называются функции вида
Функциональный
ряд
называется сходящимся при
или в точке (
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм:
Другими
словами, можно отметить, что функциональный
ряд
сходится при
,
если сходится числовой ряд
.
Предел
последовательности
,
обозначим его через
,
называется суммой ряда
в точке
.
Определение
9.6.
Совокупность всех значений
,
для которых сходится ряд
,
называется областью сходимости этого
ряда.
Пусть
на отрезке тогда
на рассматриваемом отрезке. В этом
случае отмечают, что функция
разлагается в ряд на отрезке
.
Как
было показано, сходимость функционального
ряда на отрезке
означает, что для любого значения
отрезка
соответствующий числовой ряд сходится.
В этой связи для исследования на
сходимость функциональных рядов можно
использовать признаки сходимости
числовых рядов.
Задача 9.10. Найти область сходимости ряда
Компактно этот ряд можно представить следующим образом
.
Этот
ряд сходится для всех
.
Действительно, для каждого
сумма ряда равна
(сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии). Таким образом, в интервале
исходный ряд определяет функцию
До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными . Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.
В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд
Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая, так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный.
Обозначая через - абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся ряд запишем следующим образом:
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (34) абсолютные величины членов убывают:
и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда
Сгруппируем члены попарно:
Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма положительна и возрастает при увеличении .
Запишем теперь группируя члены иным образом:
Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому для любого значения . Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет предел
При этом, так как то ясно, что Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:
При имеем
так как по условию и, следовательно, .
Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
Следовательно, ряд сходится.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде
числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Теорема. Если для знакопеременного ряда
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
то данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (37) и (38):
Таким образом, члены ряда (39) либо равны членам сходящегося ряда (38), либо меньше их. Поэтому ряд (39) сходится на основании признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).
Умножив все члены сходящегося ряда (38) на получим сходящийся ряд
(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (39) и (40)
Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.
Но ряд (37) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:
Следовательно, ряд (37) также сходится (п. 3, теорема 1).
Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд (33)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный ряд (33).
Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Действительно рассмотрим ряд
который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд
составленный из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и, следовательно, расходится.
Хотя рассмотренные выше ряды (33) и (42) оба сходятся, однако характер их сходимости различен.
Ряд (33) сходится одновременно с рядом (41), составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд (43), составленный из абсолютных величин сходящегося ряда (42), расходится.
В связи с этим введем следующие определения.
Определение. Знакопеременный ряд абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.
Определение. Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов их расходится.
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (33) является абсолютно сходящимся, а ряд ( - неабсолютно сходящимся.
